複變函數教程

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《複變函數教程》是大學數學系複變函數基礎課教材。全書共分九章，內容包括：複數與復空間，複平面的拓撲，解析函數概念與初等解析函數，Cauchy定理與Cauchy積分，解析函數的級數展開，留數定理和幅角原理，調和函數，解析開拓和共形映射等。《複變函數教程》在Cauchy定理的證明中，採用對積分閉路的簡化推導，比同類教材要技高一籌。適用於綜合大學數學系大學生及數學愛好者。《複變函數教程》對解析函數、多值函數、解析開拓和共形映射等內容作了較好的處理，使傳統內容以新的面貌出現。為方便讀者使用，各章配有適量的習題，並附有解答和較詳細的提示。 《複變函數教程》可作為綜合大學和高等師範院校數學系及相關專業大學生的教科書或教學參考書，也可作為大、中學數學教師、科技工作者和工程技術人員的數學參考書。

第一章複數與復空間
1複數域
2複數的表示
3複數的運算
4不等式
5圓周和直線方程
6關於圓周的對稱點
7複數的球面表示與擴充複平面
第二章複平面的拓撲
1複平面上的開集與閉集
2完備性
3緊性
4曲線
5連通性
6連續函數
習題
第三章解析函數概念與初等解析函數
1解析函數概念
2可導的充要條件
3導數的運算
4導數的幾何意義與函數的實可微
5指數函數
6儒可夫斯基函數
7分式線性變換
8三角函數
9對數函數
10冪函數
11儒可夫斯基函數的反函數與反三角函數
習題
第四章Cauchy定理與Cauchy公式
1積分
2Cauchy定理
3Cauchy公式
4變上限積分確定的函數
5最大模原理與Schwarz引理
習題
第五章解析函數的級數展開
1函數項級數
1.1數項級數
1.2函數項級數與Weierstrass定理
1.3級數的收斂性
2冪級數與Taylor展式
2.1冪級數
2.2解析函數的Taylor展式
2.3零點的孤立性與唯一性
3Laurent級數與Laurent展式
3.1Laurent級數
3.2Laurent展式
3.3孤立奇點
4整函數與亞純函數
習題
第六章留數定理和輻角原理
1留數定理
1.1留數的定義與計算
1.2留數定理
2輻角原理與Rouche定理
2.1關於零點與極點的一般定理
2.2輻角原理與Rouche定理
3求解析函數的零點數
4單葉解析函數的性質
5求亞純函數的展式
6求某些函數的定積分
習題
第七章調和函數
1共軛調和微分與Green公式
1.1調和微分與共軛調和微分
1.2Green公式
2平均值性質
3Poisson公式與Poisson積分
3.1Poisson公式
3.2Poisson積分
4幾個等價命題與Harnack原理
4.1調和函數的幾個等價命題
4.2Harnack原理
5次（下）調和函數
6Dirichlet問題
習題
第八章解析開拓
1解析開拓概念與冪級數解析開拓
1.1解析開拓概念
1.2冪級數的解析開拓
2對稱原理
3單值性定理
3.1沿曲線的解析開拓
3.2單值性定理
習題
第九章共形映射
1共形映射的例子
1.1單連通區域情形
1.2二連通區域情形
2黎曼存在定理
2.1Montel定理
2.2黎曼存在定理
3邊界對應
3.1函數g（w）的連續開拓
3.2函數f（z）的連續開拓
4多角形的共形映射
4.1Schwarz—Christoffel公式
4.2矩形情形
習題
附錄
習題答案與提示
名詞索引
參考書目