吳軍數學通識講義

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如何一眼識破龐氏騙局、做好理財、投資？如何在購房貸款時做出最優選擇？如何增加簡歷通過初篩的幾率？如何規劃公司的發展曲線？更重要的是，如何提升自己的認知水平？如何改變自己的思維方式？ 如果你也關注這些問題，希望藉助數學思維來更好地提升自己、認知世界，這本 書希望你一定要看。 這是一本寫給所有人的數學通識講義，書中通過關鍵知識點串聯起整個數學體系，幫助你逐步建立起屬於自己的數學知識結構。而貫穿全書的數學發展史，其實就是人類認知的發展史，你可以藉此逐步訓練自己的認知：從直觀到抽象，從靜態到動態，從宏觀到微觀，從隨意到確定再到隨機。 對於理工專業的讀者，這本書能夠幫助你更好地梳理以往的數學知識，站在更高的地方更全面地看待數學以及人類知識體系；對於非理工專業的讀者，則能更好地訓練自己的數學思維，讓你直擊本質、化繁為簡，做出正確的決策。

總 序 001
前 言 009
基礎篇
第 1 章 理解數學的線索：從畢達哥拉斯講起
1.1 勾股定理：為什麼在西方叫畢達哥拉斯定理 022
1.2 數學的預見性：無理數是畢達哥拉斯定理的推論 030
1.3 數學思維：如何從邏輯出發想問題 036
1.4 黃金分割：數學和美學的橋樑 045
1.5 優選法：華羅庚化繁為簡的神來之筆 058
第 2 章 數列與級數：承上啟下的關鍵內容
2.1 數學的關聯性：斐波那契數列和黃金分割 070
2.2 數列變化：趨勢比當下重要 075
2.3 級數：傳銷騙局裡的數學原理 079
2.4 等比級數：少付一半利息，多獲得一倍回報 092
第 3 章 數學邊界：數學是萬能的嗎
3.1 數學的侷限性：從勾定理到費馬大定理 104
3.2 探尋數學的邊界：從希爾伯特第十問題講起 108
數字篇
第 4 章 方程：新方法和新思維
4.1 雞兔同籠問題：方程這個工具有什麼用 116
4.2 一元三次方程的解法：數學史上著名的發明權之爭 126
4.3 虛數：虛構的工具有什麼用 135
第 5 章 無窮大和無窮小：從數值到趨勢
5.1 無窮大：為什麼我們難以理解無限大的世界 143
5.2 無窮小：芝諾悖論和它的破解 149
5.3 第二次數學危機：牛頓和貝克萊的爭論 156
5.4 極限：重新審視無窮小的世界 163
5.5 動態趨勢：無窮大和無窮小能比較大小嗎 171
幾何篇
第 6 章 基礎幾何學：公理化體系的建立
6.1 幾何學的起源：為什麼幾何學是數學中最古老的分支 186
6.2 公理化體系：幾何學的系統理論從何而來 194
第 7 章 幾何學的發展：開創不同數學分支融合的先河
7.1 非歐幾何：換一條公理，幾何學會崩塌嗎 205
7.2 圓周率：數學工具的意義 214
7.3 解析幾何：如何用代數的方法解決幾何問題 221
7.4 體系的意義：為什麼幾何能為法律提供理論基礎 232
代數篇
第 8 章 函數：重要的數學工具
8.1 定義和本質：從靜態到動態，從數量到趨勢 244
8.2 因果關係：決定性和相關性的差別 253
第 9 章 線性代數：超乎想象的實用工具
9.1 向量：數量的方向與合力的形成 262
9.2 餘弦定理：文本分類與簡歷篩選 278
9.3 矩陣：多元思維的應用 284
微積分篇
第 10 章 微分：如何理解宏觀和微觀的關係
10.1 導數：揭示事物變化的新規律 300
10.2 微分：描述微觀世界的工具 307
10.3 奇點：變化連續和光滑是穩定性的基礎 312
第 11 章 積分：從微觀變化了解宏觀趨勢
11.1 積分：微分的逆運算 323
11.2 積分的意義：從細節瞭解全局 327
11.3 最優化問題：用變化的眼光看最大值和最小值 333
11.4 發明權之爭：牛頓和萊布尼茨各自的貢獻 342
*11.5 體系的完善：微積分公理化的過程 348
概率和數理統計篇
第 12 章 隨機性和概率論：如何看待不確定性
12.1 概率論：一門來自賭徒的學問 364
12.2 古典概率：拉普拉斯對概率的系統性論述 366
12.3 伯努利試驗：隨機性到底意味著什麼 371
12.4 均值與方差：理想與現實的差距 378
第 13 章 小概率和大概率：如何資源共享和消除不確定性
13.1. 泊松分佈：為什麼保險公司必須有很大的客戶群 386
13.2 高斯分佈：大概率事件意味著什麼 393
*13.3 概率公理化：理論和現實的統一 404
第 14 章 前提條件：度量隨機性的新方法
14.1 前提條件：條件對隨機性的影響 415
14.2 差異：概率、聯合概率和條件概率 421
14.3 相關性：條件概率在信息處理中的應用 430
14.4 貝葉斯公式：機器翻譯是怎樣工作的 433
第 15 章 統計學和數據方法：準確估算概率的前提
15.1 定義：什麼是統計學 442
15.2 實踐：怎樣做好統計 446
15.3 古德 - 圖靈折扣估計：如何防範黑天鵝事件 450
15.4 換個眼光看世界：概率是一種世界觀，統計是一種方法論 459
終篇
第 16 章 數學在人類知識體系中的位置
16.1 數學和哲學：一頭一尾的兩門學科 468
16.2 數學和自然科學：數學如何改造自然科學 474
16.3 數學和邏輯學：為什麼邏輯是一切的基礎 480
16.4 數學和其他學科：為什麼數學是更底層的工具 486
16.5 未來展望：希爾伯特的講演 493
附錄
附錄 1 黃金分割等於多少 497
附錄 2 為什麼斐波那契數列相鄰兩項的比值收斂於黃金分割 498
附錄 3 等比級數求和算法 500
附錄 4 一元 N 次方程 x N =1 的解 501
附錄 5 積分的其他兩種計算方法 503
附錄 6 大數定律 505
附錄 7 希爾伯特退休講演的英文譯文 507
終篇
第 16 章 數學在人類知識體系中的位置
21.1 數學和哲學 /458
21.2 數學和自然科學 /465
21.3 數學和邏輯學 /469
21.4 數學和其他學科 /473
21.5 著名數學家希爾伯特退休前的講演 /478